xylosper's notebook

고등학생 떄 살짝 물리 공부좀 많이 했다 하면 '파동 방정식'이라는 걸 들어보았을 것이다.
사실, 일반적으로 '파동 방정식'이라고 하면 다음과 같은 2계 편미분 방정식을 가리킨다.

$\frac{\partial^2 }{\partial t^2} u(x,t)=c^2 \frac{\partial^2 }{\partial x^2}u(x,t)$

고등학교의 파동에서는 파동방정식이란 이름으로 다음과 같은 식이 소개된다.

$u(x,y)=A\sin(kx-\omega t +\phi)$

이식은 그 위에 적은 파동방정식의 기본해이다.
이것이 해가 된다는 것은 직접 대입해보면 간단하게 확인 할 수 있지만, 진동을 사인파로 나타냈을 때, 그것을 평행 이동시킴으로써 간단히 이 식을 도출하는 것도 가능하다.

우선 $t=0$ 일 때, 각 위치 $x$ 에서의 진동의 변위가 다음과 같이 주어졌다고 하자.

$u(x)=A\sin\left(\frac{2\pi}{\lambda}x+\phi\right)$

여기서 $\lambda$ 는 파동의 파장을 나타내고, $\phi$ 는 초기위상을 나타낸다.
파동은 진동이 시간에 따라서 전파된다.
파동의 전파 속도를 $v$ 라고 하면, 시간이 $t$ 만큼 흘렀을 때 이 파동은 $vt$ 만큼 전파된다.
따라서, 시간 $t$ 후의 파동은, 처음의 파동을 진행방향으로 $vt$ 만큼 평행이동시키면 된다.
만약 파동이 $+x$ 방향으로 전파된다면, $vt$ 만큼 평행이동 시킨 식은

$u(x,t)=u(x-vt)=A\sin\left[\frac{2\pi}{\lambda}(x-vt)+\phi\right]$

가 될 것이다.
이것으로 '고등학교의 파동방정식'이 유도되었다.
처음에 제시한 식과 비교하면 사인 안의 모양이 전혀 다르게 보인다.
모양을 같게 하는 건 단순히 몇가지 변수를 새로 넣기만 하면된다.
우선, 이 파동의 진동 주기를 $T$ 라고 하면, $v=\lambda/T$ 이므로,

$u(x,t)=A\sin\left[\frac{2\pi}{\lambda}\left(x-\frac{\lambda}{T}t\right)+\phi\right]$

라고 바꿔 쓸수 있다.
여기서, 다음 두가지 변수를 도입한다.

$k=\frac{2\pi}{\lambda},\quad \omega=\frac{2\pi}{T}$

식의 사인안의 괄호를 전개하여 위 두 변수를 대입하면

$u(x,y)=A\sin(kx-\omega t +\phi)$

라는, 원하던 식이 나오게 된다.

마지막에 도입한 두 변수는 각각 '파수(혹은 전파수)', '각진동수(혹은 각주파수)'라고 불리는 물리량이다.
사실 고등학교의 물리에서는 이 두 물리량이 가지는 의미는 그리 크지 않다.
그나마 각진동수정도는 원운동의 각속도와 연관지어 생각할 수 있지만, 파수는 특히나 1차원 문제에서는 별 의미가 없어서 보이고, 단순히 식을 간단하게 하기 위한 물리량으로 보일 것이다.
파수는 사실 파장보다 더 많은 정보를 포함하는 물리량으로, 대학물리를 배우게 되면 파수가 가지는 의미를 알게 될 것이다.

xylosper's notebook

글 검색 결과

파동을 나타내는 식

xylosper's notebook - 최근 글

xylosper's notebook - 최근 댓글